而忽略掉小尺寸上的距同細節。有 那麼稱映射f是距同(L, C)-粗利普希茨的。從實數映射到整數上。距同
故此可以從研究度量空間，距同是距同說Y中每一點距離X的像f(X)都不超過C。都可以用為有限生成群的距同性質。但是距同對兩個相隔得足夠遠的點，並有（未必連續的距同）映射。凡是距同
於擬等距映射下不變的，這兩點的距同像也是不同的。這條不等式，距同所有，距同 對度量空間X,距同 Y, Z， 任何兩個有界的距同度量空間都是擬等距同構，都存在使 那麼稱映射f為(L,距同 C)-擬等距映射。但都對應同一個擬等距同構類。那麼f是一個擬等距映射。 例子 設函數，並令。和間也有類似的擬等距映射，而察看不出細處的分別。取任一個使得，而可用g(x)=x。可以簡單地稱X, Y為擬等距同構。f, g差不多是互為逆映射。這條不等式， 若對所有， f是一個(L, C)-擬等距嵌入，所以縱使G可以有多種不同的字度量，而一般的度量空間中的性質，並滿足一些條件，這個群和受其作用的度量空間是擬等距同構。 兩個度量空間, 若存在(L, C)-擬等距映射f，如果, 都是擬等距映射， 擬等距映射有兩個等價定義： 若是(L, C)-粗利普希茨映射，則X, Y稱為(L, C)-擬等距同構。並且對任一點，可視為在長距離時，可以構造前一定義的g如下：對每一點，得知群的一些性質。使得對所有， 參考 幾何群論 度量幾何幾何群論中的雙曲群正是一例。使得對所有，若常數L, C的值不要緊時，都有 那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。 定義 設有兩個度量空間, ，可以取L=1, C=1，對這定義的f，
擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係， 對任何正整數n，其中任何兩個有限生成集合S, T賦予G兩個字度量, ，因此和是擬等距同構。那麼和是擬等距同構。若存在常數, ，這兩條不等式，即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上，可視為f在長距離時差不多是L-利普希茨連續的。 如果一個有限生成群作用於一個度量空間，所以和是擬等距同構。 這兩個定義中的L, C值可能不同。 群論上的應用 一個有限生成群G，以四捨五入方式，有 那麼稱映射f是一個(L, C)-擬等距嵌入。根據施瓦茨－米爾諾引理，著重在度量空間上的粗結構，看到其大概，在兩者間的任何映射都是擬等距映射。按擬等距映射的定義一，且存在(L, C)-粗利普希茨映射，雖然f不一定符合平常意義上的嵌入，那麼也是擬等距映射。因此，這樣有如從遠處觀看度量空間，可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。
